Бурри родился в Цюрихе в 1933 году, учился в местной школе искусств и ремесел. Начинал работать в швейцарском представительстве Walt Disney Company, а позже увлекся фотографией. Его наставником стал французский фотограф Анри Картье-Брессон, с которым он с 1959 года работал в фотоагентстве Magnum.

Мировую известность Бурри получил в 1962 году после издания фотоальбома «Немцы». Среди самых известных работ фотографа — портрет Че Гевары с сигарой, кубинского лидера Фиделя Кастро, французского архитектора Шарля Ле Корбюзье, испанского художника Пабло Пикассо. Всего в коллекции Бурри около 30 тысяч снимков, большая часть из которых хранится в Елисейском музее фотографии в Лозанне.